おもこん

おもこんは「思いつくままにコンピュターの話し」の省略形です

【森を見よ】(−7)÷3のあまりはいくつ?

今日は数学ネタです。 「木を見て森を見ない」(小さなことにとらわれて全体を見ない)にならないよう「森を見よ」シリーズ2回めです。

7÷3=2・・・1

小学校で習うことですが、7割る3の商は2、あまりは1です。 では、「マイナス7割る3」のあまりはいくつでしょうか?

「(−7)÷3」のあまりは
(1) −1 (2) 1 (3) −2 (4) 2

正解は(4)の2です。 正解した方はさすが! −1と答えた方も少なからずいるのでは?

で、ここからが本題ですが、それはなぜでしょうか? それは、「(−7)÷3」だけでなく、整数全体を考えることにより分かってきます。 「森を見よ」ということですね。

1÷3=0・・・1
2÷3=0・・・2
3÷3=1・・・0
4÷3=1・・・1
5÷3=1・・・2
6÷3=2・・・0
7÷3=2・・・1
8÷3=2・・・2
9÷3=3・・・0
10÷3=3・・・1

これを注意深く観察すると、

  • 3で割ってあまり0の数は2つおきに現れる
  • 3で割ってあまり1の数は2つおきに現れる
  • 3で割ってあまり2の数は2つおきに現れる

そこで、これらを色分けすると

                  10
  • シアン・・・3で割ると1余る数
  • 黄色・・・3で割ると2余る数
  • ピンク・・・3で割り切れる数

これを「2つおきに同じ色」になるように、マイナスの数まで伸ばしてみましょう。

−9   −8   −7   −6   −5   −4   −3   −2   −1                       10

−7は黄色だから、3で割って2余る数に入っていますね。

あまりは常に3の倍数から右に(正の方向に)いくつずれるかを表します。 たとえば8であれば3の倍数6から2だけ右にずれています(つまり+2だけあまる)。 同じように、−7は3の倍数−9から右に2だけずれているので、あまり2となります。

より正確に言えば「あまりは0以上割る数未満」です。 3で割るときは、「0以上3未満」すなわち0,1,2です。

計算上は、

7÷3=2・・・1
7=3✕2+1

から、

−7=3✕(−2)+(−1)
あまりは常に正(右にずれる)から、商を−3にして
−7=3✕(−3)+2
−7÷3=−3・・・2

このように、商をひとつずらして考えることで計算できます。 ポイントは「あまりは0以上割る数未満」ということです。