マイナスの数の掛け算について書きます。 よくある間違いに、マイナス✕マイナスがマイナスになる、というのがあります。 正しくはプラスになる、と教わるのですが「なぜ？」となってしまうのです。 そう思う理由は、
- プラス✕プラスがプラスになるから、マイナス✕マイナスがマイナスになる
- プラスにマイナスをかけるとマイナス、つまり小さくなる。 だからマイナスにマイナスをかければ余計小さくなるはずだ
などでしょう。
これは掛け算の一部を見て類推しているのです。 もっと掛け算の全体を見なければならないのですね。
負数（マイナスの数）の仕組み
−２は数なんだから、「ー」と「２」を分けてはだめ、「−２」でひとつの数だから。
負数を習うと最初はこう教えられるかもしれませんが、実は「−２」は「ー」と「２」に分けて考えるべきです。
- 「ー」は「＋」と逆の向きを表す
- 「２」はプラスとマイナスの中間にある「０」からの距離を表す
実は正の数も同じで「５」と「＋５」は同じで、向きが「＋」の向き（一般には正の向きという）で０からの距離が「５」です。
「プラス✕プラス」と「マイナス✕プラス」
２✕３は２を３回足すことだから、６になります。
２✕３＝２＋２＋２＝６
同じように考えれば、（−２）✕３は−６になります。
（−２）✕３＝（−２）＋（−２）＋（−２）＝−６
このように「３をかける」というのは
- 向きを変えず
- 大きさを３倍（０からの距離を３倍）
ですが、「向きを変えず」というのは大事なポイントです。
「プラス✕マイナス」
掛け算は前後を入れ替えても同じになるので、
３✕（−２）＝（−２）✕３＝−６
ですが、ここから「−２をかける」というのは
- 向きが反対になる（正の数が負の数になる）
- 大きさが２倍（０からの距離が２倍）
ということになります。 ここで、向きが反対になるのは「−２」の「ー」の部分のためです。大きさ２倍は「−２」の「２」の部分が関わっています。
「マイナス✕マイナス」
「−３」をかけると「向きが反対」「おおきさ３倍」ですから、
（−２）✕（−３）＝６
- −２は負の向きなので、向きを変えると「正の向き」
- ０からの距離は２の３倍で６
ということですね。 だから、マイナス✕マイナスは（向きが反対になるから）プラスになります。
数学的、形式的な論法
形式的には、マイナスの数はプラスの数の逆元として導入していくことになるので、
（−３）＋３＝０
負数でも分配法則が成り立てば
（−２）✕｛（−３）＋３｝＝（−２）✕０ （−２）✕（−３）＋（−２）✕３＝０ （−２）✕（−３）＋（−６）＝０ （−２）✕（−３）＝６
このようにマイナス✕マイナスがプラスにならなければならない。 そうでなければ、分配法則は負の数では使えなくなってしまう、ということです。
発展編＝＞虚数
−１をかけると向きが変わるだけで大きさが変わりません。 「２✕（−１）＝−２」「（−２）✕（−１）＝２」です。 「向きが変わる」というのは「１８０度回転」させるのと同じです。
ところで、虚数ｉは２乗すると−１になる数ですから、
２✕（−１）＝２✕ｉ✕ｉ
です。では、「２✕ｉ」はどうなるのでしょう？ ｉは２回かけて（−１）で、−１倍は１８０度の回転でしたから、「ｉ倍は９０度回転」と考えればつじつまが合います。
このことから、ｉの倍数は垂直に並ぶことになります。
これが高校で習う「複素平面」です。 「マイナスをかけると向きが変わる（＝１８０度回転）」を発展させて複素平面の考えにたどり着くわけですね。 もしもマイナス✕マイナスがマイナスだったら、このように発展させることはできませんでした。
